题目内容

设同时满足条件：① $数学公式$ ；②b_n≤M（n∈N₊，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n}叫“嘉文”数列．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足： $数学公式$ （a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，若数列{b_n}为等比数列，求a的值，并证明此时 $数学公式$ 为“嘉文”数列．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，所以a₁=a
当n≥2时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即{a_n}以a为首项，a为公比的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ ； …（4分）
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ ，
若{b_n}为等比数列，则有 $\text{[math]}$ ，而b₁=3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ …（7分）
再将 $\text{[math]}$ 代入得： $\text{[math]}$ ，其为等比数列，所以 $\text{[math]}$ 成立…（8分）
由于① $\text{[math]}$ …（10分）
（或做差更简单：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 也成立）
② $\text{[math]}$ ，故存在 $\text{[math]}$ ；
所以符合①②，故 $\text{[math]}$ 为“嘉文”数列…（12分）
分析：（1）当n≥2时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，从而可得{a_n}以a为首项，a为公比的等比数列，由此可求{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，利用{b_n}为等比数列，可求a的值；验证“嘉文”数列的两个条件，即可证得．
点评：本题考查等比数列的定义与通项，考查新定义，解题的关键是理解新定义，正确运用新定义，属于中档题．

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（2012•马鞍山二模）设同时满足条件：①

≥bn+1；②b_n≤M（n∈N₊，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n}叫“嘉文”数列．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值，并证明此时{

}为“嘉文”数列．

设同时满足条件：①

≤bn+1（n∈N^*）；②b_n≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n} 叫“特界”数列．
（Ⅰ）若数列{a_n} 为等差数列，S_n是其前n项和，a₃=4，S₃=18，求S_n；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{S_n}是否为“特界”数列，并说明理由．

（09年济宁质检一文）（12分）

设同时满足条件：①；②(是与无关的常数)的无穷数列叫“特界” 数列.

（Ⅰ）若数列为等差数列，是其前项和，，求；

（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列是否为“特界” 数列，并说明理由.

已知数列是首项为，公比为的等比数列.数列满足，是的前项和.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“特界”数列.判断（1）中的数列是否为“特界”数列，并说明理由．

（本小题满分12分）

设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．

（Ⅰ）求的通项公式；[来源:学*科*网Z*X*X*K]

（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.