题目内容
设同时满足条件:①
;②bn≤M(n∈N+,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足:
(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设
,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明此时
为“嘉文”数列.
解:(1)因为
,所以a1=a
当n≥2时,
,即{an}以a为首项,a为公比的等比数列.
∴
; …(4分)
(2)由(1)知,
,
若{bn}为等比数列,则有
,而b1=3,
,
故
,解得
…(7分)
再将
代入得:
,其为等比数列,所以
成立…(8分)
由于①
…(10分)
(或做差更简单:因为
,所以
也成立)
②
,故存在
;
所以符合①②,故
为“嘉文”数列…(12分)
分析:(1)当n≥2时,
,从而可得{an}以a为首项,a为公比的等比数列,由此可求{an}的通项公式;
(2)确定数列{bn}的通项,利用{bn}为等比数列,可求a的值;验证“嘉文”数列的两个条件,即可证得.
点评:本题考查等比数列的定义与通项,考查新定义,解题的关键是理解新定义,正确运用新定义,属于中档题.

当n≥2时,


∴

(2)由(1)知,

若{bn}为等比数列,则有



故


再将



由于①

(或做差更简单:因为


②


所以符合①②,故

分析:(1)当n≥2时,


(2)确定数列{bn}的通项,利用{bn}为等比数列,可求a的值;验证“嘉文”数列的两个条件,即可证得.
点评:本题考查等比数列的定义与通项,考查新定义,解题的关键是理解新定义,正确运用新定义,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目