题目内容

设同时满足条件：①
bn+bn+22
≤bn+1（n∈N*）；②bn≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn} 叫“特界”数列．
（Ⅰ）若数列{an} 为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4，S3=18，求Sn；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
分析：（I）利用等差数列的通项个数及前n项和个数将，a3=4，S3=18用a1+2d=4，3a1+3d=18表示，列出方程组求出a1=8，d=2，利用前n项和公式求出Sn；
（II）利用“特界”数列的定义，求出
Sn+Sn+2
2
-Sn+1的值，判断出其符号，据新定义数列{Sn}是“特界”数列．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为，
a1+2d=4，3a1+3d=18，…（2分）
解得a1=8，d=-2…（4分）
Sn=na1+
n(n-1)
2
d=-n2+9n…（6分）
（Ⅱ）由
Sn+ Sn+2 
2
-Sn+1=
(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1- Sn)
2
=
an+2- an+1
2
=
d
2
=-1＜0
得
Sn+Sn+2
2
＜Sn+1，
故数列数列{Sn}适合条件①…（9分）
Sn=-n2+9n=-(n-
9
2
)2+
81
4
，
则当n=4或n=5时，Sn有最大值20
即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②．
综上，故数列{Sn}是“特界”数列．…（12分）
点评：解决等差数列、等比数列的有关问题，一般利用通项公式、前n项公式列出方程组，求出基本量再解决．
练习册系列答案
相关题目
11、设f（x）=ax+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）的定义域为[-2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；
（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．
设函数f（x）=ax+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=
1，x∈[0，1]
f(log2x)-4，x∈(1，+∞)
，求使得g[g（x）]=1成立的整数x的取值的集合．
设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对于任意的x∈R，均有f(x)+f-1(x)＜
5
2
x，定义数列{an}，a0=8，a1=10，an=f（an-1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求证：an+1+an-1＜
5
2
an（n∈N*）．
（Ⅱ）设bn=an+1-2an（n∈N*），求证：bn＜（-6）•2-n（n∈N*）；
（Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
①当n=0，1时，an=
A•4n+B
2n
；
②当n≥2时（n∈N*，）an＜
A•4n+B
2n
．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．
已知函数F(x)=kx2-2
4+2m-m2
x，G(x)=-
1-(x-k)2
(m，k∈R)
（1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；
（2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？
（3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B={（m，k）|k2+（m-1）2≤r2，r＞0}，求使A⊆B的r的取值范围．
设f（x）=ax+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）的定义域为[-2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；
（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．

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