Question

已知椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴交于点A，且|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

(1)求椭圆的方程及离心率．

(2)若，求直线PQ的方程．

(3)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意设椭圆方程为：，由已知得： 　　 　　∴椭圆方程为离心率………………4分 　　(2)设直线PQ：与椭圆联立得： 　　设P(x1，y1)，Q(x1，y2) 　　由△＞0得，由韦达定理 　　 　　∵∴ 　　∴韦达定理代入并化简得： 　　∴，故所求直线PQ方程为 　　或………………………………9分 　　(3)∵∴ 　　∴………………10分∵注意到 　　解得∵F(0，2)M() 　　∴ 　　 　　又 　　故……………………………………14分