Question

已知函数为偶函数，为奇函数，其中a、b为常数，则（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=    ．

Answer 1

【答案】分析：由奇偶函数的定义列出关于a、b的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a和b，再利用和与积的值和a³=b³=1求出a²+b²，a³+b³，a⁴+b⁴等，找出具有周期性T为3，再利用周期性求出式子的和．
解答：解：∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴，
即 ，
解得 ；
∴复数a、b是方程x²+x+1=0的两个根，
解得，a=-+i，b=--i；
∴a³=b³=1
已知a+b=-1，ab=1；则a²+b²=（a+b）²-2ab=-1，a³+b³=2，
同理可求a⁴+b⁴=-1，a⁵+b⁵=-1，a⁶+b⁶=2，…，归纳出有周期性且T=3，
∴（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=99[（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）]+（a+b）=-1．
故答案为：-1．
点评：本题考查了奇（偶）函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用a³=b³=1找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值．