Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=3，D为BC中点，

（1）证明：A1C∥平面B1AD；
（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设A1B∩B1A=E，连接DE，

则在△A1BC中，E、D分别是A1B、BC的中点，

∴A1C∥DE，又A1C平面B1AD，DE平面B1AD，

∴A1C∥平面B1AD

（2）解：如图，以A为原点，AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z建立坐标系．

则B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，3），

∵D为BC的中点，∴D（1，1，0）

=（1，1，0）， =（2，0，3）

取平面BAD的法向量为 =（0，0，1），设平面B1AD的法向量为 =（x，y，z），

则 ，令x=1，y=﹣1，z=﹣ ，∴ =（1，﹣1，﹣ ），

∴cos＜ ＞= =﹣

∵二面角B1﹣AD﹣B为锐二面角，

∴二面角B1﹣AD﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）设A1B∩B1A=E，连接DE，则A1C∥DE，由此能证明A1C∥平面B1AD．（2）以A为原点，AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z建立坐标系．利用向量法能求出二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．