题目内容

对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．
（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式；
（II）若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，求数列{an}的前n项和Sn；
（III）对于（II）中的数列{an}，若数列{bn}满足anbnbn+1=-21•28（n∈N*），且b4=-7．
求：①数列{bn}的通项公式；②当数列{bn}前n项的积最大时n的值．
分析：（1）根据题意写出符合题意的式子．
（2）依题意得{an}是公比数为2的等比数列，计算出数列{an}的前n项和Sn
（3）根据题意计算出数列{bn}的通项公式，计算出数列{bn}前n项的积为Tn，当数列{bn}前n项的积最大时n的值．
解答：解：（Ⅰ）如an=n2．（答案不惟一，结果应为an=An2+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意an+1-an=2n，n=1，2，3，
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+2n-3++2=2n．（5分）
从面{an}是公比数为2的等比数列，
所以Sn=
2(1-2n)
1-2
=2n+1-2.（7分）
（Ⅲ）由anbnbn+1=-21•2n及an-1bn-1bn=-21•2n，两式相除得
bn+1
bn-1
=
1
2
，
所以数列{b2n-1}，{b2n}分别是公比为
1
2
的等比数列
由b4=-7得b2=-14．
令n=1，由a1b1b2=-21•2n得b1=3•26．
所以数列{bn}的通项为bn=
3•26•(
1
2
)
n-1
2
(n≥1，且n是奇数)
-14•(
1
2
)
n
2
-1(n≥2，且n是偶数)
（10分）
②记数列{bn}前n项的积为Tn．
令|bnbn+1|＜1，得|-2|•(
1
2
)n-8|＜1，
即(
1
2
)n-1＜
1
21
，解得n≥13.
所以当n是奇数时，|b1b2|＞1，|b3b4|＞1，，|b11b12|＞1，|b13b14|＜1，|b15b16|＜1，
从而|T2|＜|T4|＜|T12|，|T12|＞|T14|＞．
当n是偶数时，|b2b3|＞1，|b4b5|＞1，，|b12b13|＞1，|b14b15|＜1，|b16b17|＜1，
从而|T1|＜|T3|＜|T13|，|T13|＞|T15|．
注意到T12＞0，T13＞0，且T13=b13T12=3T12＞T12，
所以当数列{bn}前n项的积Tn最大时n=13．（14分）
点评：此题主要考查数列通项公式的求解及前n项积的求解．
练习册系列答案
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（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
16
[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
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1
2
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=
OM
+
ON
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1
n
)+f(
2
n
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n-1
n
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1
6
，n=1
1
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3
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1
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