题目内容

设F₁、F₂，分别是椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点，点P在椭圆上，若|PF₁|=9|PF₂|，则P点的坐标为________．

（5，0）
分析：设P（x₀，y₀）利用椭圆的第二定义可求得|PF₁|，|PF₂|，利用|PF₁|=9|PF₂|即可求得点P的横坐标x₀，继而可得答案．
解答：设P（x₀，y₀），
∵椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的右准线l₂的方程为x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的左准线l₁的方程为x=- $\text{[math]}$ ；
设点P在l₁上的射影为P′，在l₂上的射影为P″，
则由椭圆的第二定义得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴|PF₁|= $\text{[math]}$ |PP′|= $\text{[math]}$ （x₀+ $\text{[math]}$ ），
同理可得，|PF₂|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -x₀），
∵|PF₁|=9|PF₂|，
∴ $\text{[math]}$ （x₀+ $\text{[math]}$ ）=9× $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -x₀），
解得x₀=5．
∴y₀=0，
∴P点的坐标为（5，0）．
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于中档题．