Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=

2 2

3

，
（1）求cos（B+C）的值；
（2）若a=2，S△ABC=

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由sinA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用三角形的内角和定理及诱导公式把所求的式子变形后，将cosA的值代入即可求出值；
（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinA的值代入即可求出bc的值，记作①，然后由a和cosA的值，根据余弦定理化简即可得到b²+c²的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值

解答：解：（1）∵sinA=

2 2

3

，A为锐角，∴cosA=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
∵B+C=π-A，∴cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=-

1

3

；
（2）由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

3

bc=

2

，得到bc=3①，
∵a=2，cosA=

1

3

，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+c²-

2

3

bc=b²+c²-2，即b²+c²=6②，
②+2×①得：（b+c）²=12，解得b+c=2

3

；
②-2×①得：（b-c）²=0，解得b-c=0，即b=c，
所以b=c=

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式及余弦定理．熟练掌握这些公式及定理是解本题的关键．学生做题时注意三角形ABC为锐角三角形这个条件．