题目内容
【题目】(改编)已知正数数列的前
项和为
,且满足
;在数列
中,
(1)求数列和
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
. 若对任意
,存在实数
,使
恒成立,求
的最小值;
(3)记数列的前
项和为
,证明:
.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】分析:(1)根据及
与
间的关系可得数列
为等差数列,进而可得通项公式;由
两边取倒数后整理得
,可得等比数列
,从而可求得
.(2)根据题意得到数列
的通项公式,再根据错位相减法求得
,根据
的单调性和不等式可得
,进而可得
的范围.(3)根据
及等比数列的求和公式可得
.
详解:(1)∵,
∴,
∴,
整理得,
∵,
∴.
又当时,
,解得
,
∴数列是首项为
,公差为1的等差数列,
∴.
将两边取倒数得
,
∴,
又,
∴数列是首项为
,公比为3的等比数列,
∴,
∴.
(2)由题意得,
∴ ①
∴ ②
①②得
,
∴.
易知数列单调递增,
∴.
又,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为
.
(3)由题意得
∵,
∴,
∴.
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