题目内容

如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面体SPABC的体积..

解：（Ⅰ）

分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON= $\text{[math]}$ ，OM= $\text{[math]}$ ∴MN= $\text{[math]}$
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC= $\text{[math]}$ AB=6 $\text{[math]}$ ?MN= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2 $\text{[math]}$
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS= $\text{[math]}$
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中， $\text{[math]}$
∴PB= $\text{[math]}$
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°?BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB= $\text{[math]}$ ，AN= $\text{[math]}$ ，
∴Rt△PAN中，高PN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此，正三棱锥P-ABD的体积 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴多面体SPABC的体积为V₁=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）设AC、BD的交点为O，连接OP、OS．先用等腰三角形PBD与等腰三角形SBD证明出PO、SO都与BO垂直，∠POS为二面角P-BD-S的平面角，然后在菱形ABCD中求出P、S在底面的射影的距离等于
2 $\text{[math]}$ ，从而PS=2 $\text{[math]}$ ，在等腰三角形PSO中利用余弦定理结合二面角P-BD-S的余弦值为 $\text{[math]}$ 计算出PO长，再在Rt三角形POB中求出PB长，得到△PBD、△PBA都是等腰直角三角形，从而结合线面垂直的判定得到PB⊥平面PAD；
（II）根据（I）的数据不难计算出正三棱锥P-ABD的高PN= $\text{[math]}$ ，从而得到正三棱锥P-ABD的体积为 $\text{[math]}$ ，最终可得多面体SPABC的体积．
点评：本题是一道立体几何的综合题，着重考查了组合几何体的面积、体积问题直线与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．