Question

如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4，
（1）求证：A₁E∥平面BDC₁．
（2）求BD与平面CC₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF，通过证出四边形EFDA₁是平行四边形，得出A₁E∥FD后，即可证明A₁E∥平面BDC₁
（2）由正棱锥的性质，可以证明A₁E⊥面CC₁B₁B，而由（1）A₁E∥FD，所以FD⊥面CC₁B₁B，BF是BD在平面CC₁B₁B上的射影，∠DBF是BD与平面CC₁B₁B所成 的角．在RT△DFB中求解即可．

解答：（1）证明：在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF，
∵E是 B₁C₁的中点，∴EF是△C₁B₁B的中位线．
则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形EFDA₁是平行四边形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁
∴A₁E∥平面BDC₁
（2）解：E是正△A₁B₁C₁的边B₁C₁的中点，
∴A₁E⊥B₁C₁
由正棱锥的性质，面A₁B₁C₁⊥面CC₁B₁B，且面A₁B₁C₁∩面CC₁B₁B=B1C1，
∴A₁E⊥面CC₁B₁B，
由（1）A₁E∥FD，
∴FD⊥面CC₁B₁B，
∴BF是BD在平面CC₁B₁B上的射影，∠DBF是BD与平面CC₁B₁B所成 的角．
∵DF=A₁E=

A1B12-B1E2

=

16-4

=2

3

．
在RT△DAB中，DB=

DA2+AB2

=

42+42

=4

2

．
∴在RT△DFB中，sin∠DBF=

DF

DB

=

2 3

4 2

=

6

4

．

点评：本题考查直线和平面垂直关系的判定，线面角求解．考查空间想象、转化、计算等能力．