Question

数列{a_n} 中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明数列{

an-c

n

}是等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用递推关系式求出a₁，a₂，a₃关于c的表达式，再结合a₁，a₂，a₃成等比数列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用递推关系式求出a_n-a_n-1=（n-1）c，再利用叠加法得an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列{

an-c

n

}的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．

解答：解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn=

an-c

n

=n-1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，
∴数列{

an-c

n

}是等差数列．（5分）

点评：本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．