题目内容
（2007•静安区一模）由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用n千元比广告费用（n-1）千元时的销售量多b×
件（n∈N*）．
（1）试写出销售量Sn与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？
| 1 | 2 n |
（1）试写出销售量Sn与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？
分析：（1）设广告费为n千元时的销量为sn，则sn-1表示广告费为（n-1）元时的销量，由题意，sn-sn-1=
，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差
构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
一、直接列式：由题，s=b+
+
+
+…+
=b（2-
）
解法二、利用累差叠加法：S1-S0=
，S2-S1=
，…Sn-Sn-1=
，累加结合等比数列的求和公式可求Sn
（2））b=4000时，s=4000（2-
），设获利为Tn，则有Tn=s•10-1000n=40000（2-
）-1000n，
欲使Tn最大，根据数列的单调性可得
，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值
| b |
| 2n |
| b |
| 2n |
一、直接列式：由题，s=b+
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 23 |
| b |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
解法二、利用累差叠加法：S1-S0=
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 2n |
（2））b=4000时，s=4000（2-
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
欲使Tn最大，根据数列的单调性可得
|
解答：（1）解法一、直接列式：由题，s=b+
+
+
+…+
=b（2-
）（广告费为1千元时，s=b+
；2千元时，s=b+
+
；…n千元时s=b+
+
+
+…+
）
解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，
由题：
，相加得Sn-S0=
+
+
+…+
，
即Sn=b+
+
+
+…+
=b（2-
）．
（2）b=4000时，s=4000（2-
），设获利为t，则有t=s•10-1000n=40000（2-
）-1000n
欲使Tn最大，则
，得
，故n=5，此时s=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 23 |
| b |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
| b |
| 2 |
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 23 |
| b |
| 2n |
解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，
由题：
|
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 23 |
| b |
| 2n |
即Sn=b+
| b |
| 2 |
| b |
| 22 |
| b |
| 23 |
| b |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
（2）b=4000时，s=4000（2-
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
欲使Tn最大，则
|
|
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．
点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．
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