题目内容

设
a
、
b
、
c
是任意三个非零向量，且互不共线，有下列四个命题：
①（
a
.
b
）.
c
-（
a
.
c
）.
b
=
0
；         ②|
a
-
b
|≤|
a
|+|
b
|；
③（
b
.
c
）.
a
-（
c
.
a
）.
b
与
c
不垂直；     ④（
a
+
b
）（
a
-
b
）=|
a
|2+|
b
|2．
其中真命题的有（　　）个．
分析：由题意知①中研究向量的数量积与数乘运算，根据运算规则判断，②中研究向量差的模与模的和的关系，根据其几何意义判断，③中研究向量的垂直关系，根据数量积为0验证，④中是数量积的运算规则考查，根据数量积运算规则判断．
解答：解：∵(
a
•
b
)
c
与
c
共线，(
c
•
a
)
b
与
b
共线，由题设条件
b
，
c
是任意的非零向量，且相互不共线知①不正确，
由向量的减法法则知，两向量差的模一定小于两向量模的和，故②正确，
因为 [(
b
•
c
)
a
-(
a
•
c
)
b
]•
c
=(
b
•
c
)(
a
•
c
)-(
a
•
c
)(
b
•
c
)=0，
故 (
b
•
c
)
a
-(
a
•
c
)
b
与
c
垂直，所以此命题③不正确；
因为 ④（
a
+
b
）（
a
-
b
）=|
a
|2-|
b
|2是正确的，④中所给的符号错误，
综上知②是正确命题
故选A．
点评：本题考查数量积的运算，数乘向量的运算，解题的关键是理解向量数量积运算及其几何意义，理解数量积为0对应的几何意义是两向量垂直．
练习册系列答案
相关题目
如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用这个性质证明x0唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
设 A、B、C是直线l上的三点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足关系：
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0
．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)，x∈[0，
7π
12
]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=
2
（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，
π
2
]，不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
设
a
，
b
，
c
是任意的三个非零平面向量，且他们相互不共线，给出下列命题
①（
a
•
b
）
c
=（
c
•
a
）
b
；
②|
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|；
③（3
a
+2
b
）•（3
a
-2
b
）=9|
a
|2-4|
b
|2；
④（
c
•
b
）
a
-（
c
•
a
）
b
不与
c
垂直．
其中正确的有（　　）
设
a
、
b
、
c
是任意三个非零向量，且互不共线，有下列四个命题：
①（
a
.
b
）.
c
-（
a
.
c
）.
b
=
0
；         ②|
a
-
b
|≤|
a
|+|
b
|；
③（
b
.
c
）.
a
-（
c
.
a
）.
b
与
c
不垂直；     ④（
a
+
b
）（
a
-
b
）=|
a
|2+|
b
|2．
其中真命题的有（　　）个．
A．1B．2C．3D．4

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