题目内容

若a，b∈R+，则使
a
+
b
≤m•
a+b
恒成立的最小正数m=
2
2
．
分析：根据0≤a+b-2
ab
 可得a+b+2
ab
≤2a+2b，变形得
(
a
+
b
)2
2
≤a+b即
a
+
b
2
≤
a+b
，从而
a
+
b
a+b
≤
2
，将原不等式也转化成这个形式，即可求出m的取值范围，从而求出m的最值．
解答：解：∵0≤（
a
-
b
）2
∴0≤a+b-2
ab
∴a+b+2
ab
≤2a+2b
∵
(
a
+
b
)2
2
≤a+b
∴
a
+
b
2
≤
a+b

即
a
+
b
a+b
≤
2

 由原式易得
a
+
b
a+b
≤m
因为求使
a
+
b
≤m•
a+b
恒成立的最小正数m
所以m≥
2

故答案为：
2
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
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14、若a、b∈R，则使不等式a|a+b|＜|a|（a+b）成立的充要条件是（　　）
（2006•海淀区一模）若a，b∈R，则使|a|+|b|＞1成立的一个充分不必要条件是（　　）
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若a，b∈ R，则使＞l成立的一个充分不必要条件是(    )

A.        B.a2+b2＞l           C.a＜l或b＜l             D.a≤1且b≤1

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