题目内容

(2012•湖北模拟)函数f(x)=
1,(x为有理数)
0,(x为无理数)
,则下列结论错误的是(  )
分析:根据已知的函数f(x)=
1,(x为有理数)
0,(x为无理数)
的解析式,结合函数奇偶性的定义,函数周期性的定义及函数值的确定方法,分别判断四个答案的真假,可得答案.
解答:解:∵函数f(x)=
1,(x为有理数)
0,(x为无理数)

当x为有理数时,-x必为有理数,此时f(-x)=f(x)=1;当x为无理数时,-x必为无理数,此时f(-x)=f(x)=0.故Af(x)是偶函数正确;
若为有理数,则方程f(f(x))=f(1)=1,此时x=1;若为无理数,则方程f(f(x))=f(0)=1,此时无满足条件的x;故B方程f(f(x))=x的解为x=1正确;
对于任意的有理数T,当x为有理数时,x+T必为有理数,此时f(x+T)=f(x)=1;当x为无理数时,x+T必为无理数,此时f(x+T)=f(x)=0;即函数是周期为任意非0有理数的周期函数,故Cf(x)是周期函数正确;
若为有理数,则方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)恒成立;若为无理数,则方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x),此时无满足条件的x;故方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数,故D错误;
故选D
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,函数的值及函数的性质,正确理解新定义函数f(x)=
1,(x为有理数)
0,(x为无理数)
是解答的关键.
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