Question

（2012•湖北模拟）函数f(x)=

1，(x为有理数) 0，(x为无理数)

，则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）是偶函数

B．方程f（f（x））=x的解为x=1

C．f（x）是周期函数

D．方程f（f（x））=f（x）的解为x=1

Answer 1

分析：根据已知的函数f(x)=

1，(x为有理数) 0，(x为无理数)

的解析式，结合函数奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值的确定方法，分别判断四个答案的真假，可得答案．

解答：解：∵函数f(x)=

1，(x为有理数) 0，(x为无理数)

，
当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函数正确；
若为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1，此时x=1；若为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1，此时无满足条件的x；故B方程f（f（x））=x的解为x=1正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故Cf（x）是周期函数正确；
若为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此时无满足条件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解为任意有理数，故D错误；
故选D

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的值及函数的性质，正确理解新定义函数f(x)=

1，(x为有理数) 0，(x为无理数)

是解答的关键．