题目内容
（2012•广安二模）已知向量
=(2cos2x+t，
)，
=(1，sin2x)，函数f（x）=
•
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）当x∈[0，
]时，f（x）有最大值4，求实数t的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数y=f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）当x∈[0，
| π |
| 4 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+
）+t+1，由此求出它的周期，再由 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
（2）当x∈[0，
]时，
≤2x+
≤
，1≤2sin（2x+
）≤2，由此求得t+2≤f（x）≤t+3，再由最大值为4，可得 t+3=4，从而求得t的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）函数f（x）=
•
=2cos2x+t+
sin2x=1=cos2x+1+t+
sin2x=2sin（2x+
）+t+1．
故它的最小正周期为
=π．
令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得 kπ-
≤x≤kπ+
，
故函数的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
（2）当x∈[0，
]时，
≤2x+
≤
，∴1≤2sin（2x+
）≤2，
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
故它的最小正周期为
| 2π |
| 2 |
令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．
点评：本题主要考查两个向量数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，三角函数的周期性和求法，属于中档题．
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