Question

（2012•广安二模）设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值．．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，由此能求出f（x）．
（2）由f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），知x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，故（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．由此能求出b的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．．
（2）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，
且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）
∵b²≥0，
∴0＜a≤6设p（a）=3a²（6-a），
则p′（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，
在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．

点评：本题考查函数解析式的求法和实数b的最大值的求法，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．