题目内容
给定an=log（n+1）（n+2）（n∈N*），定义乘积a1•a2…ak为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ________．
2026
分析：根据换底公式：
，把an=log（n+1）（n+2）代入a1•a2…ak并且化简，转化为
为整数，即k+2=2m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2008]内的所有理想数的和．
解答：换底公式：．
为整数，
∴k+2=2m，m∈N*．
k分别可取22-2，23-2，24-2，，最大值2m-2≤2008，m最大可取10，
故和为22+23++210-18=2026．
故答案为：2026．
点评：考查数列的综合应用及对数的换底公式，把a1•a2…ak并且化简转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题．
分析：根据换底公式：
，把an=log（n+1）（n+2）代入a1•a2…ak并且化简，转化为为整数，即k+2=2m，m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2008]内的所有理想数的和．
解答：换底公式：
．为整数，∴k+2=2m，m∈N*．
k分别可取22-2，23-2，24-2，，最大值2m-2≤2008，m最大可取10，
故和为22+23++210-18=2026．
故答案为：2026．
点评：考查数列的综合应用及对数的换底公式，把a1•a2…ak并且化简转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题．
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