Question

给定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定义乘积a₁•a₂…a_k为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为

 

．

Answer 1

分析：根据换底公式：logaN=

logbN

logba

，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_k并且化简，转化为

lg(k+2)

lg2

为整数，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2008]内的所有理想数的和．

解答：解：换底公式：logaN=

logbN

logba

．
a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

为整数，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和为2²+2³++2¹⁰-18=2026．
故答案为：2026．

点评：考查数列的综合应用及对数的换底公式，把a₁•a₂…a_k并且化简转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题．