Question

（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
①1-；
②．
（2）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①构造出函数f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y，依题意lny-lnx=，又＜＜，从而可证1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y）；②由①知，得＜ln2-ln1＜，＜ln3-ln2＜，…，＜lnn-ln（n-1）＜，累加即可证得结论；
（2）易证当n=1与n=2时等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）成立，通过反例x=2，y=0，可证得当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立，从而可知n的所有可能值．
解答：证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y               …（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=，又＜＜…（*）    …（2分）
即1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y）  …（3分）
②证明：由（*）式可得＜ln2-ln1＜，
＜ln3-ln2＜，
…
＜lnn-ln（n-1）＜，…（6分）
上述不等式相加，得＜lnn＜（n＞1）…（8分）
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式＜lnn-ln（n-1）＜，给出2分）
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）显然成立．…（9分）
当n=2时，f（x）-f（y）=x²-y²=2（）（x-y）=f′（）（x-y）．…（10分）
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n．                         …（11分）
当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=++…+≥2+=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3时方程2^n-1=n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分）
点评：本题考查思想归纳法，着重考查构造函数与推理证明的能力，考查累加法与反证法的综合应用，属于难题．