题目内容

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆 $数学公式$ 的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）垂直于x轴的一条弦，AB所在直线的方程为x=m（|m|＜a且m≠0），P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线 $数学公式$ 于两点Q、R，求证 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以直线A₁A₂的方程为 $\text{[math]}$ ．
线A₁A₂与y轴相交于（0，1），依题意知a=2，b=1，
所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，设P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），
则有 $\text{[math]}$ ，m²+4n²-4=0，
在直线AP的方程 $\text{[math]}$ 中，令 $\text{[math]}$ ，整理得 $\text{[math]}$ ．①
同理， $\text{[math]}$ ．②
①×②，并将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入得y_Q•y_R= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵|m|＜2且m≠0，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由图易求切点A₁（2，0），根据MO⊥A₁A₂可求直线A₁A₂的方程，从而可求椭圆上顶点，进而得a，b值；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），则有 $\text{[math]}$ ，m²+4n²-4=0，写出直线AP方程可求得y_Q，同理求得y_R，于是可得y_Q•y_R，进而得到 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再根据m的范围即可求证．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大．