题目内容
已知函数f(x)=x+
过点P（1，5），
（1）求m值及函数f（x）的表达式；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）在[2，+∞）上为增函数．
| m | x |
（1）求m值及函数f（x）的表达式；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）在[2，+∞）上为增函数．
分析：（1）把点p坐标代入解析式即可解得；
（2）定义证明单调性步骤：①取值；②左差；③变形；④判号；⑤结论．
（2）定义证明单调性步骤：①取值；②左差；③变形；④判号；⑤结论．
解答：（1）解：由函数f(x)=x+
过点P（1，5），得1+m=5，
所以m=4，f(x)=x+
；
（2）证明：设2≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）
=
．因为2≤x1＜x2，所以x1-x20，
f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在[2，+∞）上为增函数．
| m |
| x |
所以m=4，f(x)=x+
| 4 |
| x |
（2）证明：设2≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
=
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在[2，+∞）上为增函数．
点评：本题考查函数解析式的求解及单调性的判断、证明，属基础题，难度不大．掌握相关基本方法是解决该类题目的基础．
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