题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，前 n 项和为S_n，且点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．计算 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ．

解：∵a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1-a_n=1，…（3分）
∴{a_n}是等差数列，首项和公差均为1，
∴a_n=1+（ n-1）=n．…（6分）
∴S_n=1+2+…+n= $\text{[math]}$ ，…（8分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）…（10分）
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2（1- $\text{[math]}$ ）+2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=2（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：由点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，可得a_n+1=a_n+1，又a₁=1，可判断{a_n}是首项和公差均为1的等差数列，从而求得
其前 n 项和为S_n= $\text{[math]}$ ，于是可用裂项法求得 $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），从而可求得答案．
点评：本题考查数列的求和，关键在于判断出数列{a_n}为等差数列，求得前 n 项和S_n，再用裂项法求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，属于中档题．