Question

如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果tan α=

3

4

，B点的横坐标为

5

13

求cos（α+β）的值；
（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的正弦线分别为MA，NB，PC，求证：线段MA，NB，PC能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说
明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的定义可求sinα，cosα，再利用两角和的余弦公式可求cos（α+β）
（2）要证明MA，NB，PC能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可
（3）设线段MA，NB，PC构成的三角形为△A′B′C′，利用余弦定理求出cosAA′，从而求出sinA′，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断

解答：解：（1）∵tanα=

3

4

且α为锐角
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

∵B点的横坐标为

5

13

由三角函数的定义可知，cosβ=

5

13

，sinβ=

12

13

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

12

13

=

-16

65

证明：（2）由（1）可得MA=sinα=

3

5

，NB=sinβ=

12

13

，PC=sin（α+β）=

63

65

∵MA+NB＞PC，PC+NB＞MA，MA+PC＞NB
∴线段MA，NB，PC能构成一个三角形
（3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：
设（2）中的三角形为△A′B′C′中，角A′，B′C′所对的边长为sinα，sinβ，sin（α+β）
由余弦定理可得，cosA′=

sin2α+sin2β-sin2(α+β)

2sinsinβ

=

sin2α+sin2β-(sinαcosβ)2+(cosαcosβ)2

2sinααsinβ

-cosαcosβ
=

2sin2αsin2β-2sinαsinβcosαcosβ

2sinαsinβ

=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos（α+β）
∵α，β∈(0，

1

2

π)
∴α+β∈（0，π）
∴sinA‘=sin（α+β）
设外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2R=

B’C‘

sinA’

=

sin(α+β)

sin(α+β)

=1
∴R=

1

2

∴外接圆的面积S=

π

4

点评：本题主要考查了三角函数的定义、和差角公式、正弦定理等知识在求解三角形中的应，解题中要注意公式的灵活应用