题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线交抛物线于,两点,点在第一象限.
若,,求直线的方程;
若,点为准线上任意一点,求证:直线,,的斜率成等差数列.
【答案】;证明见解析.
【解析】
设点在准线上的射影为,由抛物线的定义知,,设,列式联立求出,直线AB的斜率为,进而写出直线的方程;
若,则抛物线,准线,设直线的方程为,
联立得消得,利用韦达定理,进而求出,即可求证.
解:设点在准线上的射影为,由抛物线的定义知,
,设,,由题设知,
,,
解得,则,,即,①
又由抛物线的定义知,,即,②
联立①②,解得,或,
,∴,则,
焦点为,,
则直线的斜率为,
故直线的方程为;
证明:若,则抛物线,
,准线,
设直线的方程为,
,,,
由消去得,,
则,,
则
又,,
故直线,,的斜率成等差数列.
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