Question

（2009•奉贤区二模）已知：点列P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线L：y=2x+1上，P₁为L与y轴的交点，数列{a_n}为公差为1的等差数列．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若f（n）=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

（k∈N^*），令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试用解析式写出S_n关于n的函数．
（3）若f（n）=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

（k∈N^*），是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=2x+1与x轴的交点p₁（a₁，b₁）为（0，1），a₁=0，知a_n=a₁+（n-1）×1，由P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由f (n)=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

（k∈N⁺）．知当n=2k时，求出Sn=

3

4

n2．当n=2k-1时，求出Sn=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

．所以Sn=

3 4 n2- n 2 - 1 4 ，n=2k-1 3 4 n2，n=2k

，（k∈N⁺）．
（3）若k为奇数，则11+k为偶数．此时方程无解． 若k为偶数，则11+k为奇数．所以f（k）=2k-1，f（11+k）=（11+k）-1=k+10，而f（11+k）=2f（k），所以k+10=2（2k-1）4．由此能得到存在k=4使得f（11+k）=2f（k）成立．

解答：解：（1）y=2x+1与x轴的交点p₁（a₁，b₁）为（0，1），（1分）
a₁=0；所以a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，（1分）
因为P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2n-1，即b_n=2n-1．（2分）
（2）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

，（k∈N⁺），
即若f (n)=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

（k∈N⁺）（1分）
（A）当n=2k时，S_n=S_2k=a₁+b₂+a₃+b₄+…+a_2k-1+a_2k
=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）（1分）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-1

2

×k=3k2，
而k=

n

2

，所以Sn=

3

4

n2．（1分）
（B）当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2n-k）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）（1分）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-5

2

×(k-1)
=3k²-4k+1，（1分）
而k=

n+1

2

，所以Sn=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

（1分）
因此Sn=

3 4 n2- n 2 - 1 4 ，n=2k-1 3 4 n2，n=2k

，（k∈N⁺）（1分）
（3）假设存在k使得f（1+k）=2f（k）成立．
（A）若k为奇数，则11+k为偶数．所以f（k）=k-1，f（11+k）=2（hh+k），而f（11+k）=2f（k），所以2k+21=2（k-1），方程无解，此时不存在．（2分）
（B） 若k为偶数，则11+k为奇数．所以f（k）=2k-1，f（11+k）=（11+k）-1=k+10，而f（11+k）=2f（k），所以k+10=2（2k-1），解得k=4（2分）
由（A）（B）得存在k=4使得f（11+k）=2f（k）成立．（1分）

点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．