Question

14．已知等差数列{a_n}的前三项分别为a，b，a+b，等比数列{b_n}的前三项分别为a，b，ab，那么数列{$\frac{{a}_{n}}{2{b}_{n}}$}的前n项和为2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式可得a，b，a_n，b_n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前三项分别为a，b，a+b，
∴等差数列{a_n}的公差d=b+a-b=a．
∴a_n=a+（n-1）a=na．
∵等比数列{b_n}的前三项分别为a，b，ab，
∴等比数列{b_n}的公比q=$\frac{ab}{b}$=a，
∴b_n=aⁿ．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{b={a}^{2}}\end{array}\right.$，a≠0，解得a=2，b=4．
∴$\frac{{a}_{n}}{2{b}_{n}}$=$\frac{na}{2{a}^{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{n}{{a}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{2{b}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．