Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若

OP

=m

OA

+n

OB

(m，n∈R)，且mn=

2

9

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3 2

  2

• B．

  3 5

  5

• C．

  3 2

  4

• D．

  9

  8

Answer 1

分析：求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用mn=

2

9

，即可求出双曲线的离心率．

解答：解：由题意可知A(c，

bc

a

)，B(c，-

bc

a

)，
代入

OP

=m

OA

+n

OB

=((m+n)c，(m-n)

bc

a

)，
得P((m+n)c，(m-n)

bc

a

)，代入双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，
得

[(m+n)c]2

a2

-

[(m-n) bc a ]2

b2

=1，所以4e²mn=1，因为mn=

2

9

，
即可得e=

3 2

4

；
故选C．

点评：本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线离心率的求法，考查计算能力．