Question

已知f(x)=

a•2x-1

2x+1

是定义在R上的奇函数，
（1）求f（x）及f^-1（x）的表达式．
（2）若当x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log

2

1+x

m

恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=-f（-x）所以f（0）=0列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值得求f（x）表达式，将y=f（x）作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域问题得f^-1（x）的表达式．
（2）log2

1+x

1-x

≥log

2

1+x

m

根据对数函数的性质得出：

1+x

1-x

≥(

1+x

m

)2最后得出不等式m²≥（1-x²）_max从而求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，所以f（0）=0，
即

a-1

2

=0，解得a=1，所以f(x)=

2x-1

2x+1

-------------------------------------------------------（2分）
设y=

2x-1

2x+1

，则y2^x+y=2^x-1，即2x=

1+y

1-y

，由

1+y

1-y

＞0得-1＜y＜1，--------------（4分）
又x=log2

1+y

1-y

，所以y=log2

1+x

1-x

，（-1＜x＜1）
即f-1(x)=log2

1+x

1-x

，（-1＜x＜1．）-----------------------------------------------------（6分）
（2）log2

1+x

1-x

≥log

2

1+x

m

即

1+x

1-x

≥(

1+x

m

)2，----------------------------------------------8 分
得m²≥1-x²，，所以不等式m²≥（1-x²）_max，----------------------------------------------------（10分）
由x∈（-1，1）知则m≥1．----------------------------------------------------（12分）

点评：本题属于基础性题，思路清晰、难度小，但解题中要特别注意指数式与对数式的互化，这是一个易错点，另外恒成立的问题也是一个难点．