Question

20．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中点是P，过点A₁作与截面PBC₁平行的截面，则截面的面积是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 取AB、C₁D₁的中点M、N，连结A₁M、MC、CN、NA₁．由已知得四边形A₁MCN是平行四边形，连结MN，作A₁H⊥MN于H，由题意能求出截面的面积．

解答 解：取AB、C₁D₁的中点M、N，连结A₁M、MC、CN、NA₁．
由于A₁N∥PC₁∥MC且A₁N=PC₁=MC，
∴四边形A₁MCN是平行四边形．
又∵A₁N∥PC₁，A₁M∥BP，A₁N∩A₁M=A₁，
PC₁∩BP=P，
∴平面A₁MCN∥平面PBC₁
因此，过A₁点作与截面PBC₁平行的截面是平行四边形．
又连结MN，作A₁H⊥MN于H，由于A₁M=A₁N=$\sqrt{5}$，MN=2$\sqrt{2}$，
则AH=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
故${S}_{平行四边形{A}_{1}MCB}$=2${S}_{△{A}_{1}MN}$=2$\sqrt{6}$．
故答案为：$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．