Question

直线l过椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为______．

Answer 1

由

x2

2

+y2=1，得a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=2-1=1．
则c=1，则左焦点F（-1，0）．
由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，
则直线l的方程为y=kx+k．
设l与椭圆相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
联立

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
所以x1+x2=-

4k2

2k2+1

．
则PQ的中点M的横坐标为

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

．
因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，
所以-

2k2

2k2+1

=-

1

2

．解得：k=±

2

2

．
所以直线l的方程为y=±

2

2

(x+1)．
故答案为y=±

2

2

(x+1)．