题目内容
椭圆
的右焦点为
，右准线为
，离心率为
，点
在椭圆上，以为圆心，
为半径的圆与的两个公共点是
．
（1）若
是边长为
的等边三角形，求圆的方程；
（2）若
三点在同一条直线
上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．
【答案】
（1）
。（2）
．
【解析】
试题分析：设椭圆的半长轴是
，半短轴是
，半焦距离是
，
由椭圆
的离心率为
，可得椭圆方程是
，
2分
（只要是一个字母，其它形式同样得分，）
焦点
，准线
，设点
，
（1）
是边长为
的等边三角形，
则圆半径为，且
到直线
的距离是
，
又到直线的距离是
，
所以，
，
，所以
所以，圆的方程是。
6分
（2）因为
三点共线，且是圆心，所以是线段
中点，
由
点横坐标是
得，
，
8分
再由
得：
，
，
所以直线
斜率
10分
直线：
，
12分
原点
到直线的距离
，
依题意
，
，所以
，
所以椭圆的方程是．
15分
考点：本题考查了圆与椭圆
点评：解答此类综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用
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