题目内容

椭圆C:
x2
25
+
y2
9
=1
的焦点为F1,F2,有下列研究问题及结论:
①曲线
x2
25-k
+
y2
9-k
=1 (k<9)
与椭圆C的焦点相同;
②一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程为x2=±6y;
③若点P为椭圆上一点,且满足
PF1
PF2
=0
,则|
PF1
+
PF2
|
=8.
则以上研究结论正确的序号依次是(  )
分析:①求出椭圆C的焦点,再确定曲线
x2
25-k
+
y2
9-k
=1 (k<9)
为椭圆,确定出它的焦点,②根据数量积为0,确定两向量垂直,|
PF1
+
PF2
|
=|
F1F2
|.
解答:解:①
x2
25
+
y2
9
=1
中,焦点为(-4,0),(4,0),曲线
x2
25-k
+
y2
9-k
=1 (k<9)
也是表示椭圆,它的焦点为(-4,0),(4,0),①正确.
②椭圆C 的短轴的端点为(0,,3),抛物线的标准方程为x2=±12y;②错.
PF1
PF2
=0
,即
PF1
PF2
,∴|
PF1
+
PF2
|
=|
F1F2
|=8,③正确.
故选C.
点评:本题考查了椭圆的基本性质,椭圆的焦点,也考查了向量的数量积,属于基础题型.
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