题目内容
椭圆C:
+
=1的焦点为F1,F2,有下列研究问题及结论:
①曲线
+
=1 (k<9)与椭圆C的焦点相同;
②一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程为x2=±6y;
③若点P为椭圆上一点,且满足
•
=0,则|
+
|=8.
则以上研究结论正确的序号依次是( )
x2 |
25 |
y2 |
9 |
①曲线
x2 |
25-k |
y2 |
9-k |
②一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程为x2=±6y;
③若点P为椭圆上一点,且满足
PF1 |
PF2 |
PF1 |
PF2 |
则以上研究结论正确的序号依次是( )
分析:①求出椭圆C的焦点,再确定曲线
+
=1 (k<9)为椭圆,确定出它的焦点,②根据数量积为0,确定两向量垂直,|
+
|=|
|.
x2 |
25-k |
y2 |
9-k |
PF1 |
PF2 |
F1F2 |
解答:解:①
+
=1中,焦点为(-4,0),(4,0),曲线
+
=1 (k<9)也是表示椭圆,它的焦点为(-4,0),(4,0),①正确.
②椭圆C 的短轴的端点为(0,,3),抛物线的标准方程为x2=±12y;②错.
③
•
=0,即
⊥
,∴|
+
|=|
|=8,③正确.
故选C.
x2 |
25 |
y2 |
9 |
x2 |
25-k |
y2 |
9-k |
②椭圆C 的短轴的端点为(0,,3),抛物线的标准方程为x2=±12y;②错.
③
PF1 |
PF2 |
PF1 |
PF2 |
PF1 |
PF2 |
F1F2 |
故选C.
点评:本题考查了椭圆的基本性质,椭圆的焦点,也考查了向量的数量积,属于基础题型.

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