Question

1．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函数f（x）=ax²-2x+1在x∈[1，3]上的最小值为N（a），最大值为M（a）．设g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函数解析式；
（2）求g（a）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{3}$≤a≤1，可得1≤$\frac{1}{a}$≤3，所以f（x）在[1，3]上，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．由f（1）-f（3）的符号进行分类讨论，能求出g（a）的解析式；
（2）讨论当$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$≤a≤1时，运用导数，求得单调性，可得最值．

解答 解：（1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
∴f（x）在[1，3]上，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6．
②当2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
g（a）=M（a）-N（a）=a+$\frac{1}{a}$-2．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6，\frac{1}{2}≤a≤1}\\{a+\frac{1}{a}-2，\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）当$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，g（a）=a+$\frac{1}{a}$-2的导数为1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，即为减函数，
可得g（$\frac{1}{3}$）取得最大值，且为$\frac{10}{3}$；
当$\frac{1}{2}$≤a≤1时，g（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6的导数为9-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
即为增函数，可得g（1）为最大值，且为4；g（$\frac{1}{2}$）为最小值，且为$\frac{1}{2}$．
综上可得g（a）的最小值为$\frac{1}{2}$，最大值为4．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用和函数的单调性的运用，属于中档题．