Question

已知数列{a_n}中，对一切自然数n，都有a_n∈（0，1）且a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0．求证：
（1）a_n+1S_n；
（2）若S_n表示数列{a_n}的前n项之和，则S_n＜2a₁．

Answer 1

解：（1）由已知a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0得，
又因为a_n∈（0，1），所以0＜1-a_n+1²＜1，因此a_n＞2a_n+1，即（6分）

（2）由结论（1）可知，即，
于是=，
即S_n＜2a₁（14分）
分析：（1）通过对已知等式变形分离出a_n，利用a_n∈（0，1），得到要证的不等式．
（2）由（1）先对前n项和放缩，再利用等比数列的前n项和公式求和，得到要证的不等式．
点评：证明不等式常用到通过放缩法得到要证的不等式，利用等比数列的前n项和公式注意判断公比是否为1．