Question

已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），且tanα，tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的两个根，则α+β=

 

．

Answer 1

分析：由tanα，tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答：解：依题意得tanα+tanβ=-3

3

＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-3 3

1-4

=

3

．
易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α∈（-

π

2

，0），β∈（-

π

2

，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=-

2π

3

．
故答案为：-

2π

3

．

点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．