Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，则a+b的最小值为

3

2

．

Answer 1

分析：求导函数，利用y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，建立不等式，将a+b用条件线性表示，即可求得a+b的最小值．

解答：解：求导f′（x）=x²+2ax-b，
若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，则f′（-1）=1-2a-b≤0，f′（2）=4+4a-b≤0
∴2a+b≥1，4a-b≤-4
令a+b=m（2a+b）+n（4a-b），则

2m+4n=1 m-n=1

∴m=

5

6

，n=-

1

6

∴a+b=

5

6

（2a+b）-

1

6

（4a-b），
∵2a+b≥1，4a-b≤-4
∴a+b≥

3

2

∴a+b的最小值为

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查求代数式的值，解题的关键是求导，确立不等关系．