题目内容
【题目】已知I为△ABC的内心,cosA= ,若 =x +y ,则x+y的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:设圆I与△ABC三边的切点为D、E、F,则cos∠BAC=2cos2∠DAI﹣1= ,∴cos∠DAI= ,
设圆I的半径为1,则AD=AE= ,AI=4,
设BD=BF=m,CF=CE=n,
由余弦定理得cos∠BAC= = ,
整理可得:mn= +1≤( )2.
∴m+n≥ .
∵I为△ABC的内心,
∴(m+n) +(n+ ) +(m+ ) = ,
∴(m+n) +(n+ )( )+(m+ )( + )= ,
∴ = + ,
∴x+y= = + ≤ + = .
所以答案是:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识,掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.
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