题目内容

定义在(0＋∞)的三个函数f(x)、g(x)、h(x)，已知f(x)＝lnx，g(x)＝，且g(x)在x＝1处取极值．

(Ⅰ))求a的值及h(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当1＜x＜e2时，恒有

(Ⅲ)把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数，并说明道理．

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)由题意：∴a＝2　2分

　　而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为减函数．　4分

　　(Ⅱ)欲证：只需证：，即证：，记∴

　　∴当x＞1时，为增函数，

　　即∴结论成立　9分

　　(Ⅲ)由(1)知：∴对应表达式为

　　∴问题转化成求函数

　　即求方程：

　　即：　11分

　　设

　　∴当时，为减函数．当时，为增函数．

　　而的图象开口向下的抛物线，

　　∴与的大致图象如图：∴与的交点个数为2个．即与的交点个数为2个．……………………14分


练习册系列答案
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函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，
1
3
]时，f(x)≥
3
2
x恒成立．则f(
3
7
)+f(
5
9
)=
 
．
（2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f（x）=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数；
③函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当t≤
3
4
时，函数，f(x)=
2，(x≤1)
log
1
2
(x-t)，(x＞1)
是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．
其中正确的是
①②④
①②④
．（填上你认为正确结论的序号）

定义在(0，＋∞)的三个函数f(x)、g(x)、h(x)，已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2－af(x)，h(x)＝x－a，且g(x)在x＝1处取极值．

(Ⅰ)求a值及h(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当1＜x＜e2时，恒有

(Ⅲ)把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数，并说明道理．

（本小题满分16分）

对于函数y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长， 则称函数为“保三角形函数”．

对于函数y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“＝x，＝，＝(定义域均为x∈(0，)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

（2）若函数＝，x∈，是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数是定义在(0，上的周期函数，且值域也为(0，，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

 

（本小题满分16分）

对于函数y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长， 则称函数为“保三角形函数”．

对于函数y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“＝x，＝，＝(定义域均为x∈(0，)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

（2）若函数＝，x∈，是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数是定义在(0，上的周期函数，且值域也为(0，，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

 

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