题目内容
定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（
）≤
的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．（1）已知函数f（x）=
，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限
=1，
=1．
【答案】分析：（1）分类讨论，验证f（
）≤
成立，即可得到结论；
（2）利用条件，构造函数f（x）=-x2，f（x）∉M，再取值验证即可；
（3）利用条件，构造函数f（x）=
满足f（x）∈M，验证条件即可．
解答：解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（
）≤
成立
设x1≤0≤x2，且
＜0，
∵
-f（
）=
=
∴f（
）≤
成立
设x1≤0≤x2，且
≥0，
∵
-f（
）=
=
∴f（
）≤
成立
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x2，f（x）∉M
取x1=-1，x2=1，则
=-1，f（
）=0
此时f（
）≤
不成立；
（3）f（x）=
满足f（x）∈M，且
=
=1，
=
=1．
点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
）≤成立，即可得到结论；（2）利用条件，构造函数f（x）=-x2，f（x）∉M，再取值验证即可；
（3）利用条件，构造函数f（x）=
满足f（x）∈M，验证条件即可．解答：解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（
）≤成立设x1≤0≤x2，且
＜0，∵
-f（）==∴f（
）≤成立设x1≤0≤x2，且
≥0，∵
-f（）==∴f（
）≤成立∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x2，f（x）∉M
取x1=-1，x2=1，则
=-1，f（）=0此时f（
）≤不成立；（3）f（x）=
满足f（x）∈M，且==1，==1．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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