Question

函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．则下列选项中不恒成立的是（　　）

• A．f（0）=0
• B．f（2）=2f（1）
• C．f（

  1

  2

  ）=

  1

  2

  f（1）
• D．f（-x）f（x）＜0

Answer 1

分析：令x=y=0，得到A成立；令x=y=1，得到B成立；令x=y=

1

2

，得到C成立；令x=-y，得到D不成立．

解答：解：函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立，
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，故A成立；
令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），故B成立；
令x=y=

1

2

，得f（1）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2f（

1

2

），∴f（

1

2

）=

1

2

f(1)，故C成立；
令x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）f（x）≤0，故D不成立．
故选D．

点评：本题考查抽象函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．