题目内容
如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值.
【解析】 (1)设点P(x,y),则Q(-1,y),由·
=·,得(x+1,0)·(2,-y)
=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=my+1(m≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2),又M,联立方程组
消去x,得y2-4my-4=0,
Δ=(-4m)2+16>0,
故
由=λ1,=λ2,得y1+=-λ1y1,y2+
=-λ2y2,整理,得
λ1=-1-,
λ2=-1-,
∴λ1+λ2=-2-
=-2-·
=-2-·=0.
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