题目内容

如图,已知点F(1,0),直线lx=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点F的直线交轨迹CAB两点,交直线l于点M,已知=λ1,=λ2,求λ1λ2的值.  

【解析】 (1)设点P(xy),则Q(-1,y),由·

=·,得(x+1,0)·(2,-y)

=(x-1,y)·(-2,y),化简得Cy2=4x.

(2)设直线AB的方程为xmy+1(m≠0).设A(x1y1),B(x2y2),又M,联立方程组

消去x,得y2-4my-4=0,

Δ=(-4m)2+16>0,

由=λ1,=λ2,得y1=-λ1y1y2

=-λ2y2,整理,得

λ1=-1-

λ2=-1-

λ1λ2=-2-

=-2-·

=-2-·=0.

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