Question

己知(b－c)x＋(c－a)y＋(a－b)z＝0，

(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列；

(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

证 (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d．代入条件得－d(x－2y＋z)＝0，即x＋z＝2y．∴＝xy，∵x，y，z均为正数，∴x，y，z成等比数列． 　　(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1，∴y＝xq，z＝代入已知条件，得(b－c)x＋(c－a)xq＋(a－b)＝0，∴(c＋a－2b)q＝0，∵q≠1，∴q≠0，∴c＋d－2b＝0，即2b＝a＋c，∴a，b，c成等差数列．