Question

设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．如图：
（1）证明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求线段PQ的长．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中点M，AA₁ 的中点为N，可证QMNP为平行四边形，故 PQ∥MN，可得PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）在Rt△A₁MN 中，由勾股定理可得 MN 的长度，即为PQ 的长度．

解答：（1）证明：取A₁B₁的中点M，AA₁的中点为N，由单位正方体的性质有QM∥A₁D₁ ，QM=

1

2

A₁D₁．
同理可证PN∥A₁D₁ ，PN=

1

2

A₁D₁．故QM和PN平行且相等，故QMNP为平行四边形，∴PQ∥MN．
而MN?平面AA₁B₁B，PQ不在平面AA₁B₁B 内，故PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）在Rt△A₁MN 中，由勾股定理可得MN=

A1N2+A1M2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴PQ=

2

2

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求线段的长度，构造平行四边形QMNP 是解题的关键．