题目内容
【题目】已知函数
.
（1）
在
的切线与直线
平行，求
的值；
（2）不等式
对于
的一切值恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由导数的几何意义可知
，据此即可求得
的值；（2）不等式
对于
的一切值恒成立，等价于
对于的一切值恒成立.构造函数
，利用导数研究其在
上的单调性，求出最小值
，再构造函数
，讨论其单调性，得到满足题意的参数范围.
试题解析：（1）函数
的定义域为，
，，由题意得
，
解得： .
（2）不等式对于的一切值恒成立，等价于对于
的一切值恒成立.
记
，则
.
令
，得
，当
变化时，
的变化情况如下表
|
|
|
|
| _ |
| + |
|
| 极小 |
|
∴ 
的最小值为.
记，则
，令
，得
.
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
∴ ①当
时，函数
在
上为增函数，
，
即
在
上的最小值
，满足题意.
②当
时，函数在
上为减函数，
，
即在上的最小值
，满足题意.
③当
时，函数在
上为减函数，
，
即在上的最小值
，不满足题意.
综上,所求实数
的取值范围为.
【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒, 以防止害虫的危害, 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水
(单位：千克) 清洗该蔬菜
千克后, 蔬菜上残留的农药
(单位：微克) 的统计表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）在下面的坐标系中, 描出散点图, 并判断变量
与
的相关性；
（2）若用解析式
作为蔬菜农药残量
与用水量的回归方程, 令
,计算平均值
与
,完成以下表格(填在答题卡中) ,求出与的回归方程.(
精确到
)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
（3）对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于
微克时对人体无害, 为了放心食用该蔬菜, 请
估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到,参考数据
)
(附：线性回归方程
中系数计算公式分别为；
, 
)
【题目】一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球互相独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：
所取球的情况 | 三个球均为红色 | 三个球均为不同色 | 恰有两球为红色 | 其他情况 |
所获得的积分 | 180 | 90 | 60 | 0 |
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中，他们所获得的积分为
，求
的分布列及均值（数学期望）
；
（3）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
