题目内容
16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos2x，1），$\overrightarrow{b}$=（2cos（2x-$\frac{π}{3}$），-1）．令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间．
（2）若f（$\frac{1}{4}$θ）=$\frac{2}{3}$，且θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），求cosθ的值．
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．
分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由f（$\frac{1}{4}$θ）=$\frac{2}{3}$，求得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，结合θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），求得cos（θ+$\frac{π}{6}$）的值．再根据cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]计算求得结果．
（3）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）取得最小值以及此时x的值．
解答 （1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos2x•2cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1=4cos2x（cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$）-1
=2cos22x+2$\sqrt{3}$sin2xcos2x-1=cos4x+$\sqrt{3}$sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{6}$），
故函数f（x）的周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得f（x）的增区间为[得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）若f（$\frac{1}{4}$θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，可得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，
结合θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），故cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}θ}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（θ+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（θ+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$．
（3）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，-1≤sin（4x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{1}{2}$，
故当4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-2，此时，x=$\frac{π}{3}$．
点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．
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