Question

已知f(x2-5)=loga

x2

10-x2

(a＞0，且a≠1)．
（1）求f（x）的解析式，并写出定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

：（1）令x²-5=t，则x²=t+5．
∴f(x2-5)=loga

x2

10-x2

化为f（t）═loga

t+5

10-t-5

=loga

t+5

5-t

．
∴f(x)=loga

x+5

5-x

，要使函数有意义，必须

x+5

5-x

＞0，解得x∈（-5，5）．
（2）∵函数的定义域关于原点对称，∴f(-x)=loga

-x+5

5-(-x)

=-loga

x+5

5-x

=-f（x）．
∴函数是奇函数．
（3）当a＞1时，f（x）≥0成立，
即loga

x+5

5-x

＞0
⇒loga

x+5

5-x

＞loga1，
∴

x+5

5-x

＞1
⇒

x+5

5-x

-1＞0
⇒

x+5+x-5

5-x

＞0
⇒

2x

x-5

＜0，
解得x∈[0，5）．