题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,有一个顶点为
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

(1);(2).

解析试题分析:(1)首先根据椭圆有一个顶点为,可知长轴,又,从而得:,可求出,即可求出椭圆方程.
(2)分直线的斜率存在与不存在分类讨论,(1)当直线轴垂直时,点的坐标为,此时,;(2)当直线的斜率存在且不为零时,设直线方程为,将直线方程与椭圆方程联立,消去,并整理得,利用和点差法即可求出结果.
解:(1)因为椭圆有一个顶点为,故长轴,又,从而得:∴椭圆的方程;(3分)
(2)依题意,直线过点且斜率不为零.
(1)当直线轴垂直时,点的坐标为,此时,;   (4分)
(2)当直线的斜率存在且不为零时,设直线方程为,  (5分)
由方程组
 消去,并整理得,  
,, 又有,则
   (7分)
 ,  ∴
,       (9分)
 ,       .
 .          (11分)
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是:.   (12分)
考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.

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