Question

（09年滨州一模理）（12分）

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=.

（Ⅰ）求证：AB⊥CP；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）设面与面的交线为，求二面角的大小．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵   底面ABCD是正方形，

∴AB⊥BC,

又平面PBC⊥底面ABCD  

平面PBC ∩  平面ABCD=BC

∴AB  ⊥平面PBC

又PC平面PBC

∴AB  ⊥CP  ………………3分

（Ⅱ）解法一：体积法.由题意，面面，

取中点，则

面.

再取中点，则   ………………5分

设点到平面的距离为，则由

.                   ………………7分

解法二：面

取中点，再取中点

，

过点作，则

在中，

由

∴点到平面的距离为。  ………………7分

解法三：向量法（略）

（Ⅲ）

面

就是二面角的平面角.

∴二面角的大小为45°.   ………………12分

方法二：向量法（略）.